Sistema
Discreto Estática
Sistema discreto estático:
La salida en un instante de muestreo depende de la entrada en ese instante de muestreo
Sistema Discreto Dinámico:
La salida puede ser función de la entrada y la salida de índices de diferente orden al actuar
Sistema
Discreto Dinámico
Sistema Discreto Dinámico Causal:
El elemento de salida puede estar influenciada por las salidas anteriores y por las entradas hasta el instante de muestreo en que se produce la salida.
Sistema no causal:
Este sistema puede generar elementos de índice superior al elemento de entrada, realizar una función a través de un algoritmo considerando los elementos generados y entregar una secuencia de salida
Sistema Discreto
Dinámico Casual
Sistema Discreto
Dinámico no casual
Secuencias:
Definición: Un conjunto numerado de elementos en donde se hace corresponder a cada número entero el valor de modelos elementos del conjunto de valores de la señal de tiempo discreto.
Una secuencia se representa como {Xk}, donde K es el entero asociado a cada elemento e indica el orden de ubicación relativa de ese elemento dentro de la secuencia, K puede ser positiva o negativa.
Se escoge el índice 0 para indicar el elemento que se encuentra ubicado en el origen de referencia y que define la frontera entre los valores positivos y negativos del índice K.
Ejemplo:
De igual forma también se puede expresar colocando los elementos en el orden en que se encuentran en la secuencia.
Puede también especificarse
Secuencia impulso unitario:
Secuencia escalón unitario:
Secuencia exponencial:
Secuencia Sinosoidad
Muestreo de Señales Continuas:
El muestreador es un dispositivo lineal, cumple con el principio de superposición
Durante el instante del muestreo el muestreador toma la señal continua y toma la forma de la Fig. (a) para el desarrollo matemático el muestreador actúa en un
, el área bajo el impulso es igual al valor o magnitud de la señal continua en el instante del muestreo, el impulso en el punto del muestreo es dado por:
Donde es el impulso muestrario.
Un muestreador con salida como la ecuación es como muestreador impulso ideal.
La secuencia de impulsos a la salida del muestreador es:
Nota: Tomando TL a ambos lados de la ecuación
Reconstrucción de señales continuas a partir de señales discretas
Considere la señal de control producida intermitentemente cada T segundos por un computador expresado por una serie de impulsos:
Retenedor de orden cero Ideal
Retenedor de primer orden
Una simple manera de convertir una señal discreta en una señal continua es sostener la señal discreta en el valor constante ___________ hasta que el siguiente valor llegue. Entonces si es el resultado de la señal continua,
para
En particular,
para
y
para
para
La ecuación anterior corresponde al retenedor de orden cero
Considerando dos valores discretos sucesivos,
y
se asume que el siguiente periodo
, la señal continua puede ser dada por una
extrapolación lineal de los dos valores previos
para
y
La ecuación anterior corresponde al retenedor de primer orden.
El retenedor de primer orden requiere al menos de dos valores para hacerlo. Construcción de la señal continua, en tanto que el de orden cero requiere de un solo valor.
Nota: 1. El fundamento matemático del retenedor independiente del orden es:
Considere una señal continua , el cual debe ser constante de valores discretos
La serie de Taylor alrededor del valor muestreado es dado por:
Si consideramos solo el término de orden cero, entonces el retenedor de orden cero es:
,
Si consideramos el término constante y el de primer orden:
La derivada de
, puede ser aproximada por:
Entonces el elemento retenedor de primer orden:
2. La salida del elemento retenedor de orden cero es un pulso con una altura constante igual a y una duración
La transformación de Laplace del retenedor es:
La F. de T. del retenedor de orden cero es:
3. De igual forma la F. de T. del retenedor de primer orden es:
Conversión de modelos continuos o modelos discretos
Control
Digital
D/A
Convert.
retenedor
proceso
A/D
Convert.
Ref.
+
–
Caso modelo discreto del retenedor digital PID
Sea el valor muestreado en el instante de muestreo, al compararlo con el valor del resulta en: , la acción central proporcional es:
La acción de control integral es basado en la integración del ERROR sobre un periodo de tiempo como los valores del ERROR son variables en modo discreto, entonces la
Puede ser aproximado por integración numérica (usando integración rectángular)
Área =
Entonces la acción de control en modo integral está dado por:
Para el modo derivativo necesitamos una evaluación numérica de la derivada
La aproximación de primer orden para la derivada es:
Entonces la acción de control en el modo derivado es:
La acción de control para el PID digital es modulada:
La ecuación anterior es conocida como ecuación de diferencias
Ejemplo: modelo en tiempo discreto de un proceso de primer orden.
Dado un proceso no lineal de primer orden:
Aproximando la derivada por diferencia de primer orden
; entonces en un instante de tiempo dado
Para un sistema lineal de primer orden
Usando la aproximación de la derivada, entonces resulta en:
Ejemplo: modelo discreto para un proceso de segundo orden
Dado el sistema lineal
La aproximación de la derivada de primer orden
;
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